Movimiento circular uniforme

En física, el movimiento circular uniforme (también denominado movimiento uniformemente circular) describe el movimiento de un cuerpo atravesando con una rapidez constante y una trayectoria circular.

Aunque la rapidez del objeto y la magnitud de su velocidad son constantes en cada instante cambia de dirección. Esta circunstancia implica la existencia de una aceleración que, si bien en este caso no varía al módulo de la velocidad, sí varía su dirección.

Cinemática del MCU en mecánica clásica

Ángulo y velocidad angular

El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.

La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene ${\displaystyle 2\pi \,}$ radianes.

La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:

${\displaystyle \omega ={\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}}$

Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático yhii.

Posición

Se considera un sistema de referencia en el plano x,y, con vectores unitarios en la dirección de estos ejes ${\displaystyle ({\text{O}};\mathbf {i} ,\mathbf {j} )}$. La posición de la partícula en función del ángulo de giro ${\displaystyle \varphi }$ y del radio r es en un sistema de referencia cartesiano x,y:

${\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos \varphi \\y=r\sin \varphi \end{cases}}}$

De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:

${\displaystyle \mathbf {r} =r\cos(\omega t)\mathbf {i} +r\sin(\omega t)\mathbf {j} }$

siendo:

${\displaystyle \mathbf {r} \;}$: es el vector de posición de la partícula.

${\displaystyle r\;}$: es el radio de la trayectoria.

Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (ω):

${\displaystyle \omega ={\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}={\frac {\varphi }{t}}\qquad \Rightarrow \qquad \varphi =\omega {t}}$

El ángulo (φ), debe medirse en radiannes:

${\displaystyle \varphi ={\frac {s}{r}}}$

donde s es la longitud del arco de circunferencia
Según esta definición:

1 vuelta = 360° = 2 π radianes

½ vuelta = 180° = π radianes
¼ de vuelta = 90° = π /2 radianes

Velocidad tangencial

La velocidad se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación tangencial:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=-r\omega \sin(\omega t)\mathbf {i} +r\omega \cos(\omega t)\mathbf {j} }$

La relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial es:

${\displaystyle {v}=|\mathbf {v} |={\sqrt {(-r\omega \sin(\omega t))^{2}+(r\omega \cos(\omega t))^{2}}}=\omega r}$

El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar ${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {v} }$ y comprobando que es nulo.

Aceleración

La aceleración, que para el movimiento circular uniforme es siempre normal, se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=-r\omega ^{2}\cos(\omega t)\mathbf {i} -r\omega ^{2}\sin(\omega t)\mathbf {j} }$

de modo que

${\displaystyle \mathbf {a} =-\omega ^{2}\mathbf {r} }$

Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular, por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.

El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad ${\displaystyle v\,}$ de la partícula, ya que, en virtud de la relación ${\displaystyle v=\omega r\,}$, resulta

${\displaystyle a=|\mathbf {a} |=\omega ^{2}r={\frac {v^{2}}{r}}}$

Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve con rapidez constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.

Movimiento circular y movimiento armónico

En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:

${\displaystyle x(t)=R_{0}\sin(\omega t+\pi /2),\qquad y(t)=R_{0}\sin(\omega t)}$

El momento angular puede calcularse como:

${\displaystyle L=xp_{y}-yp_{x}=m(xv_{y}-yv_{x})=m\omega R^{2}}$

De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares.

Período y frecuencia

El período ${\displaystyle T\,}$ representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:

${\displaystyle T={\frac {2\,\pi }{\omega }}}$

La frecuencia ${\displaystyle f\,}$ mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:

${\displaystyle f={\frac {\omega }{2\,\pi }}}$

Por consiguiente, la frecuencia es la inversa del período:

${\displaystyle f={\frac {1}{T}}}$